Valeria GIARDINO (CNRS, Institut Jean-Nicod, ENS Paris)
« Diagrammes et autres outils cognitifs : quelle place dans la pratique mathématique ? »
Jeudi 20 mai 2021, 14h-16h
Salle 15-16/101 de l’IRILL (rotonde 15, 1er étage)
4 place Jussieu, 75005 Paris
métro Jussieu (lignes 7 et 10)
Cette séance était initialement prévue le jeudi 14 mai 2020.
Michèle SORIA (Sorbonne Université, LIP6)
« Combinatoire Analytique : énumération, statistiques et génération aléatoire »
La Combinatoire Analytique, développée par Philippe Flajolet et son école à partir des années 1980, est une théorie dont l’objectif est de quantifier les propriétés de structures discrètes variées, telles que mots, permutations, arbres, graphes… L’approche est celle d’un calcul sur les structures, fondé sur les propriétés algébriques et analytiques des séries génératrices de dénombrement.
On étudie des structures qui peuvent être spécifiées récursivement en fonction d’opérations combinatoires telles que Union, Produit, Séquence, Ensemble, Cycle. La phrase-clé de la Combinatoire Analytique est « If you can specify, you can analyse » : à partir des spécifications, on développe une chaîne de traitement systématique, voire automatique, qui donne les lois asymptotiques générales gouvernant les séquences de dénombrement et le comportement des paramètres.
La première étape consiste à transcrire les spécifications en termes d’opérations algébriques sur les séries génératrices de dénombrement des structures. Dans l’étape suivante, les séries génératrices sont interprétées comme des fonctions analytiques, dont les singularités sont déterminantes pour les estimations asymptotiques. Cette vision par l’analyse complexe permet d’étudier les propriétés statistiques des structures de grande taille, et de montrer des phénomène d’universalité : de nombreuses propriétés des structures combinatoires dépendent de traits globaux de leur définition, et non de détails.
Cet exposé présente un panorama de résultats de Combinatoire Analytique, ainsi que quelques algorithmes efficaces pour l’énumération et la génération aléatoire. Il est illustré de nombreux exemples et accompagné de traitements automatiques avec les modules COMBSTRUCT et GFUN de MAPLE.
Mercredi 4 mars 2020, 14h-16h
Salle 24-25/405 du LIP6 (rotonde 25, 4e étage)
4 place Jussieu, 75005 Paris
métro Jussieu (lignes 7 et 10)
Agathe KELLER (CNRS, SPHERE, Université Paris-Diderot)
« Des textes d’algorithmes concis, quelques exemples tirés de sūtras d’Āryabhaṭa (né en 476) et de son commentaire par Bhāskara (629) »
Les traités mathématiques sanskrits, suivant le style des textes de cette culture savante, sont rédigés en vers concis et concernent le plus souvent des procédures. Cette présentation se propose d’observer le lien entre le texte et l’algorithme reconstruit qu’il s’agit d’exécuter, afin d’y mettre en lumière comment s’effectue l’expression concise des étapes de l’exécution. En s’appuyant sur un texte canonique, l’Āryabhaṭīya (499), et le commentaire de Bhāskara pour décoder le sens des vers, nous observerons des manières de dire des procédures d’extraction de racine carrée, de calculer différents éléments d’une suite arithmétique ou de résoudre un certain type d’équation indéterminée. L’analyse pourra s’élargir à l’expression verbale de table numériques de sinus. Il s’agira donc d’observer les modes de compression d’un texte d’algorithme ou d’un ensemble de données numériques.
Jeudi 17 juin 2021, 14h-16h
Salle 15-16/101 de l’IRILL (rotonde 15, 1er étage)
4 place Jussieu, 75005 Paris
métro Jussieu (lignes 7 et 10)
Cette séance était initialement prévue le jeudi 4 juin 2020.
Marie-José Durand-Richard (Paris 8, SPHERE, CNRS)
« Les diagrammes de fonctionnement de The Analytical Engine, de Charles Babbage 1791-1877) à Ada Lovelace (1815-1852) »
Charles Babbage (1791-1877) a élaboré les plans de The Analytical Engine afin de matérialiser la conception symbolique de l’algèbre élaborée au sein d’un réseau d’algébristes nommé The Analytics. Cette conception était fondée sur les propriétés strictement opératoires des développements en série. Suite à la présentation de ses plans en Italie en 1841, l’ingénieur militaire Luigi Menabrea (1809-1896) a publié en français quelques exemples de diagrammes de fonctionnement de cette machine, diagrammes que je qualifie de statiques. Dans les précieuses notes qu’elle ajoute dans sa traduction de cet article en anglais, Ada Lovelace (1815-1852) les complète par de nouveaux diagrammes, que je qualifie de dynamiques. On étudiera ces diagrammes afin d’examiner quelles sont les caractéristiques qui peuvent permettre, ou non, de les qualifier de programmes.
Jeudi 11 avril 2019
Salle 24-25/405 du LIP6 (rotonde 25, 4e étage)
4 place Jussieu, 75005 Paris
métro Jussieu (lignes 7 et 10)
Assia MAHBOUBI (Inria, LS2N, Université de Nantes)
« Démonstrations assistées par ordinateur »
Jeudi 7 février 2019
Salle 24-25/405 du LIP6 (rotonde 25, 4e étage)
4 place Jussieu, 75005 Paris
métro Jussieu (lignes 7 et 10)
Les ordinateurs ont profondément transformé la pratique des mathématiques contemporaines, mettant en particulier leur puissance de calcul au service de l’observation, de la conjecture et même de la validation “par calcul”. La généralisation rapide de l’accès à une puissance de calcul surhumaine a même suscité de nouvelles formes de mathématiques, à l’interface avec l’informatique, comme le calcul formel ou l’analyse numérique. Moins connus que certains systèmes de calcul symbolique, numérique ou statistique, les “assistants de preuve” font néanmoins partie des logiciels qui permettent de faire des mathématiques sur ordinateur. Ils sont conçus pour aider leurs utilisateurs à représenter définitions, énoncés et démonstrations dans un formalisme logique précis et non ambigu, sous la forme de bibliothèques digitales de mathématiques formalisées. Il existe plusieurs sous-familles d’assistants de preuves, qui diffèrent en particulier sur le choix de fondations logiques, qui détermine le langage formel utilisé. En particulier, une majorité d’entre eux sont basés sur une forme de théorie des types, une approche des fondations logiques qui donne une place privilégiée aux fonctions, et au concept de calcul. Mais dans tous les case, une telle (ré)écriture des théories mathématiques serait bien trop piétonne pour être envisageable, sinon intéressante, sans l’aide de la machine. Cette dernière permet en retour de réduire la vérification des preuves à une tâche routinière et mécanisée. Mais ce n’est pas le seul bénéfice d’une telle formalisation et nous discuterons dans cet exposé la pratique et les enjeux de cette forme de mathématiques assistées par ordinateur.
Cet exposé ne présuppose pas de connaissance particulière en logique ou en programmation.
Éric Vandendriessche (SPHERE) et Alban Da Silva (ESPE & Laboratoire LIRE, Université de la Nouvelle-Calédonie)
Programmer les dessins sur le sable de Vanuatu : nouvelles perspectives d’une recherche ethnomathématique
Au cours des dernières décennies, des outils mathématiques et informatiques ont été créés et/ou utilisés par les chercheurs en ethnomathématique pour modéliser des activités à caractère géométrique et algorithmique impliquant la création d’artefacts (tissage, vannerie, ornements…). L’enjeu de ces travaux de modélisation est de mettre au point des outils qui soient à même de suggérer des hypothèses sur la manière dont les praticiens de diverses sociétés – souvent de tradition orale – ont exploré les configurations spatiales et les possibilités combinatoires impliquées dans ces pratiques.
Un sujet classique de l’ethnomathématique est l’activité qui consiste à tracer une ligne continue – contrainte par un quadrillage de lignes ou de points – avec un doigt sur le sol ou le sable. Évoquée souvent par l’appellation « dessins sur le sable », cette pratique a pu être observée dans diverses sociétés autochtones de la planète, et au Vanuatu (Pacifique Sud) notamment. Dans la première partie de cet exposé, nous donnerons un aperçu des études ethnomathématiques qui ont mis en évidence les aspects algorithmiques de cette pratique. Dans une seconde partie, nous montrerons que la « réécriture » des procédures de dessin sur le sable dans un langage informatique “orienté-objet” est une voie prometteuse pour modéliser cette activité. Si le LOGO fut le langage privilégié dans nos premiers travaux (Berkeley Logo, module Logo-Turtle), son manque de souplesse (pour implémenter de nombreuses boucles imbriquées notamment) nous a finalement incités à utiliser le langage de programmation Python. Nous présenterons le code source de quelques programmes constituant la première étape vers la création d’un outil informatique qui, d’une part, facilitera la collecte et l’apprentissage de ces dessins sur le terrain, et, d’autre part, permettra d’étudier plus loin les actes cognitifs qui sous-tendent la création de ces artefacts.
Mercredi 25 mai 2016, 10h-12h (horaire inhabituel).
LIP6, salle 24-25/405.
Karine Chemla (ERC Advanced Research Grant SAW & SPHERE, CNRS-Université Paris Diderot)
Calculer avec des positions, calculer avec des tables en Chine ancienne
Au nombre des traditions mathématiques que l’on peut identifier en Chine ancienne, l’une paraît faire un usage singulier de positions sur la surface matérielle sur laquelle les algorithmes étaient exécutés. C’est de fait en son sein que furent élaborées les nombreuses notations positionnelles que l’on peut repérer en Chine ancienne et qui distingue cette tradition d’autres traditions, en Chine ou ailleurs. L’exposé vise à repérer les contours de cette tradition ainsi qu’à esquisser le corpus de résultats et de pratiques qui s’y rattachent. Il vise également à mettre en évidence la persistance de cette tradition sur des siècles, tout en montrant comment de nouveaux résultats émergent dans ce cadre. L’exposé proposera enfin des hypothèses sur les raisons de cette longévité.
Mercredi 13 avril 2016, 14h-15h30.
LIP6, salle 24-24/405.
Christine Proust (CNRS, SPHERE, Université Paris-Diderot) et Baptiste Mélès (CNRS, Archives Henri-Poincaré, Université de Lorraine)
MesoCalc, la calculatrice mésopotamienne en JavaScript
La calculatrice MesoCalc, créée en 2013, permet de pratiquer en toute simplicité l’arithmétique paléo-balylonienne : elle intègre la notation sexagésimale positionnelle, le calcul flottant et les principales opérations arithmétiques historiquement attestées. La calculatrice est destinée aussi bien aux assyriologues,aux historiens des mathématiques, qu’aux simples curieux. Disponible en ligne sur la page http://baptiste.meles.free.fr/site/mesocalc.html, ce logiciel est libre et gratuit.
D’abord, nous exposerons les bases des mathématiques mésopotamiennes grâce à des exercices scolaires qui servaient précisément à les enseigner à de jeunes scribes dans l’antiquité. Ensuite, nous ouvrirons le capot de MesoCalc. En décrivant comment ces notions ont été traduites dans le langage de programmation JavaScript, nous montrerons que les calculs sont effectués dans MesoCalc de manière aussi proche que possible du calcul sexagésimal, un peu par coquetterie — on plaidera officiellement le souci de probité historique — mais aussi pour de très prosaïques raisons techniques. L’arithmétique de JavaScript n’est exacte que jusqu’à 2 puissance 53, limite que les scribes mésopotamiens transgressaient allègrement ; il a donc fallu ruser avec le langage et réécrire toute son arithmétique élémentaire pour lui permettre d’atteindre ce qui nativement transcende ses facultés.
Accessible à tous, l’exposé ne présuppose aucune connaissance préalable des mathématiques mésopotamiennes ou de la programmation informatique.
Mercredi 20 janvier 2016, 14h-15h30.
LIP6, salle 24-24/405.
Georges Gonthier (Microsoft Research, INRIA)
Le génie logiciel des mathématiques formelles
Mercredi 14 octobre 2015, 14h-15h30.
LIP6, salle 24-25/405.
Cette séance n’a donné lieu à aucun enregistrement.
David MADORE (Télécom ParisTech)
Un jeu de labyrinthe dans le plan hyperbolique écrit en JavaScript
La géométrie hyperbolique (géométrie non-euclidienne à courbure constante négative) peut présenter un attrait particulier pour le développement de jeux informatiques en ce qu’elle rend naturelle la création de mondes intrinsèquement labyrinthiques. Cette possibilité a cependant été peu explorée.
Jeudi 30 avril, 14h-16h.
LIP6, salle 25-26/105.
